Abstract FR:

On etudie les phenomenes d'explosion relatifs a l'equation de la chaleur non-lineaire u t u = g(u) dans (0,t), u = 0 sur (0,t), u(0) = u o dans , (1) ou g est la non-linearite c 1 croissante, est un domaine borne regulier de r n et u o , l (), u 00 est la donnee initiale. Dans la premiere partie, on etudie egalement le probleme stationnaire associe u = g(u) dans , u = 0 sur , (2) en demontrant un resultat de borne superieure du gradient des solutions classiques, ainsi qu'une condition necessaire sur la non-linearite pour l'existence d'une solution faible de (2) non classique. On demontre par ailleurs, en utilisant une borne inferieure du semi-groupe associe a la chaleur, l'equivalence entre les diverses notions de solutions faibles de (1) et celles d'explosion totale apres un temps t <. Dans la seconde partie, on etudie l'equation de la chaleur non-lineaire (1) dans le cas radial, ou le domaine est une boule de r n et u 0 , l () est radiale. Apres une etude de l'ensemble des points d'explosion, on demontre que pour une non-linearite g(s) = s p, p>1, si la solution u de (1) explose en t = t m a x en dehors de l'origine, alors les normes l q de u explosent quand tt m a x, pour tout q > p1/2. Il y a alors explosion de normes sous-critiques, de l'energie et une explosion totale de la solution apres t m a x. La troisieme partie, la plus importante de la these, concerne le rapport entre l'equation de la chaleur non-lineaire et l'equation de la chaleur stationnaire associee. Les premiers resultats ont ete le fruit d'une collaboration avec h. Brezis, t. Cazenave et y. Martel. Il est egalement question du probleme d'evolution avec une donnee initiale u 0 dans l 1 () non classique. On demontre dans certains cas l'existence d'une solution classique u de (1) sur (0, ) avec u(0) = u 0, et dans d'autres la non-existence d'une solution meme faible de (1) sur (0,t) pour tout t>0.