Leibniz manifolds and Lyapunov
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Abstract EN:
The first part of this thesis shows that various relevant dynamical system scan be described as vector fields associated to smooth functions vi a bracket that defines what we call a Leibniz structure. Several examples can be described using this construction that generalises the standard Poisson brackets. The symmetries of these systems and the associated reduction in Leibniz and almost Poisson manifolds are described in detail. The second part of this thesis includes results centred around the nonlinear stability of equilibrium in Poisson dynamical systems. We prove an energy-Casimir type sufficient condition for stability that uses function (not necessary conserved) that takes into account certain asymptotically stable behaviour that may occur in the Poisson category. We discussed also two situations in which the use of Casimir functions in stability is equivalent to the topological methods introduced by Patrick et al.
Abstract FR:
La première partie de cette thèse montre que divers systèmes dynamiques peuvent être décrits comme champs de vecteurs associés des fonctions différentiables via une structure que nous appelons « de Leibniz ». De nombreux exemples peuvent être décrits en utilisant cette construction qui généralise la parenthèse de Poisson. Les symétries de ces systèmes et des procédures associées de réduction sur des variétés de Leibniz et variétés almost Poisson sont décrites en détail. La deuxième partie inclut des résultats reliés avec la stabilité non linéaire des équilibres en systèmes dynamiques de Poisson. Nous prouvons une condition pout la stabilité de Lyapunov qui emploie des fonctions (pas nécessairement conservées) qui tiennent compte de certain comportement stable asymptotique qui peut se produire dans la catégorie de Poisson. Nous discutons aussi deux situations dans lesquelles l’utilisation des fonctions de Casimir est équivalente aux méthodes topologiques présentées par Patrick et al.