Quelques problèmes de dynamique de surface reliés aux chaînes de disques libres
Institution:
Paris 13Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
It is known that Brouwer theory of plane homeomorphisms may be applied to the study of homeomorphisms of surfaces. A result linked to this theory that is often used is the so-called Frank’s lemma on free disk chains. In this manuscript, we consider some problems on surface homeomorphisms where free disk chains will be used. The manuscript consists of three parts. In the first part, we give simple proofs of the classical Poincaré-Birkhoff theorem and its various extensions using the new notion of positive path. By a counterexample, we will explain what are the limits of the possible extensions. In the second part, we generalize the line translation theorem by Beguin, Crovisier, Le Roux ( and Patou) on annulus homeomorphisms that is connected to an old conjecture of Birkhoff, to the case where the property of preserving a finite measure with total support is replaced by the intersection property which is a pure topological condition. In the third part, we give a precise dynamical explanation of the action function which is a classical object in symplectic geometry, defined on the set of contractible fixed points for a Hamil tonian diffeomorphism, and we generalize it, in dimension two, to the case of a homeomorphism isotopic to the identity that preserves a Borel finite measure of rotation vector zero, provided that a boundedness condition is satisfied. We give some properties of the generalized action.
Abstract FR:
On sait que la théorie de Brouwer des homéomorphismes du plan peut être appliquée à l’étude des homémorphismes de surface. Un outil fréquemment utilisé est le lemme de Franks sur les chaînes de disques libres. Dans ce travail, on considère quelques problèmes sur les homéomorphismes de surface où les chaînes de disques libres sont utilisées. Ce travail comporte trois parties. Dans la première partie, on donne des preuves simples du théorème de Poincaré-Birkhoff et de ses variantes en utilisant la notion nouvelle de chemin positif. A l’aide d’un contrexemple, on fera comprendre les limites possibles de ces extensions. Dans la deuxième partie, on généralise un théorème dû à Beguin, Crovisier, Le Roux (et Patou), sur les homéomorphismes de l’anneau, qui est connecté à une ancienne conjecture de Birkhoff, au cas où la propriété de la préservation d’une mesure finie à support total est remplacée par la propriété d’intersection, pure condition topologique. Dans la troisième partie, on donne une explication dynamique précise de la fonction d’action qui est un objet classique de la géométrie symplectique, defini sur l’ensemble des points fixes contractibles d’un difféomorphisme hamiltonien, et on la généralise, en dimension deux, au cas d’un homémorphisme isotope à l’identité qui préserve une mesure borélienne finie de vecteur de rotation nul, sous une condition de borne d’enlacement de points fixes. On montre quelques propriétés de cette action généralisée.