Abstract FR:

Le probleme central de cette these est celui du calcul de la fermeture integrale d'un anneau de valuation discrete dans une extension finie et separable de son corps des fractions. On etudie donc de facon detaillee la situation suivante : a un anneau de valuation discrete, k son corps des fractions, p une de ses uniformisantes, l une k-extension separable de degre n, b la fermeture integrale de a dans l. Sous ces hypotheses, on montre que b est un a-module libre de rang n. C'est de surcroit un anneau de dedekind semi-local. On cherche a calculer une a-base de b, ainsi que la factorisation de p dans b. L'aspect constructif etant absent des preuves modernes etablissant cette structure, une partie importante de ce travail, le chapitre 3, a consiste a revisiter ces theoremes de structure. Nous donnons une classification des k-algebres etales, preservant les quantites precedentes, moins fine que celle donnee pas la classe d'isomorphismes (de k-algebres), plus adaptee au calcul, et reposant sur la notion de pseudo-isomorphisme. Nous completons cette etude en donnant une condition necessaire et suffisante pour que b soit une a-algebre monogene, i. E. Admettant une a-base formee des puissances d'un meme element. Les chapitres 1 et 2 sont consacres a la methode de newton algebrique et au critere de normalite de dedekind, themes intervenant dans l'elaboration d'un procede de calcul. Finalement, s'inspirant de l'algorithme round4 elabore par h. Zassenhaus, nous presentons au chapitre 4 un algorithme realisant l'objectif fixe en agrementant l'expose d'exemples assez generaux. En annexe figure une implementation documentee en axiom de l'algorithme. Il permet, etant donne f un polynome unitaire et separable de ax, de determiner la structure de la fermeture integrale de a dans kx/(f), d'approximer une factorisation p-adique de f et de tester son irreductibilite p-adique.