Quelques propriétés de l'indice dans une algèbre de Lie semi-simple
Institution:
Paris 7Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
The index of a complex Lie algebra is the minimal dimension of stabilizers of elements for the coadjoint action. The index plays an important role in representation and invariant theory. This thesis concerns the index of non-reductive subalgebras in a semisimple Lie algebra. We establish in the first part an explicite formula for the index of the normaliser of the centraliser of a nilpotent element in a semisimple complex Lie algebra. This result has been conjectured by D. Panyushev. The proof uses some methods developed by J. Y. Charbonnel to obtain the index of the centraliser of an element. We solve in the second part a problem of additivity of the index linked to a Cartan décomposition of a semisimple real Lie algebra. In particular, we answer positively a question by M. Raïs. To proof this conjecture we use the Kostan's construction to find stable forms. In the annex, we give computations made with GAP useful for the first part.
Abstract FR:
L'indice d'une algèbre de Lie complexe est la dimension minimale des stabilisateurs des éléments du dual pour l'action coadjointe. La notion d'indice joue un rôle important dans la théorie des représentations et des invariants. Cette thèse concerne indice de sous-algèbres non-réductives dans une algèbre de Lie semi-simple. On établit dans la première partie une formule explicite pour l'indice du normalisateur du centralisateur d'un élément nilpotent dans une algèbre de Lie semi-simple complexe, selon un résultat conjecturé par D. Panyushev. La démonstration utilise pour une large part des techniques développées par J. Y. Charbonnel pour calculer l'indice du centralisateur d'un élément. On résout dans la deuxième partie un problème d'additivité de l'indice lié à la décomposition de Cartan d'une algèbre de Lie semi-simple réelle. On répond ainsi de façon positive à une question soulevée par M. Raïs On montre cette conjecture en utilisant la construction "en cascade" de Kostant pour trouver des formes linéaires stables. On expose enfin en annexe des calculs effectués à l'aide du logiciel GAP utiles à la première partie.