Autour de la catégorie des bimodules de Soergel
Institution:
Paris 7Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
My thesis is about Soergel category of bimodules. This tensorial category, associated to any Coxeter group can be seen as a categorification of the corresponding Hecke algebra. This category represents the main way of combinatorial and algebraic attack of the problems of formulae of characters in positive characteristic. It is also linked to the questions of positivity of Kazhdan-Lusztig polynomials (via "Soergel conjecture") and to some homological invariants of knots. In my thesis, I study Soergel category of bimodules from a combinatorial point of view. My first result is the construction of explicit bases for the morphisms spaces in Soergel category. This is a first step towards the description by generators and relations of Soergel categories. In a second work I obtain this description by generators and relations for right-angled Coxeter groups. In a third work I prove that we obtain the same indecomposable bimodules working with the geometrie representation of a Coxeter group or working with the reflection representations considered by Soergel. Finally in my last work I construct explicitly a set of idempotents in Soergel category for "large" Coxeter Systems (every product of simple reflections are at least of order four). Thus we obtain a new natural basis of the Hecke algebra -between the Kazhdan-Lusztig basis and the "Bott-Samelson-Demazure" basis- that actually corresponds to Soergel bimodules.
Abstract FR:
Ma thèse porte sur l'étude de la catégorie des bimodules de Soergel. Cette catégorie tensorielle, associée à un groupe de Coxeter quelconque peut être vue comme une catégorification de l'algèbre de Hecke correspondante. Cette catégorie représente la principale voie d'attaque combinatoire et algébrique des problèmes de formules de caractères en caractéristique positive. Elle est liée aux question de positivités des polynômes de Kazhdan-Lusztig (à travers la "conjecture de Soergel") et à certains invariants homologiques de noeuds Dans ma thèse j'étudie la catégorie des bimodules de Soergel sous une approche combinatoire. Mon premier résultat est la construction des bases explicites pour les morphismes de la catégorie de Soergel. Ceci est une première étape dans la description par générateurs et relations des catégories de Soergel. Dans un deuxième travail j'obtiens cette description pour les groupes de Coxter à angle droit. Dans un troisième travail je montre qu'on obtient les mêmes bimodules indécomposables en travaillant avec la représentation dite "géométrique" d'un groupe de Coxeter qu'en travaillant avec les représentations de réflexion considérées par Soergel. Finalement dans le dernier travail je construis explicitement des idempotents dans la catégorie de Soergel pour des systèmes de Coxete "larges" (chaque produit de réfactions simples est au moins d'ordre quatre). Ceci fournit une nouvelle base naturelle de l'algèbre de Hecke -entre la base de Kazhdan-Lusztig et cellede "Bott-Samelson-Demazure"- qui correspond à des bimodules de Soergel.