Trois études de processus fractionnaires
Institution:
Toulouse 3Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
The first part is devoted to the simulation of the Local Time Fractional Stable Motion (LTFSM). This process, which was introduced in 2006 by Cohen and Samorodnitsky, is defined as the integration of the local time of a fractional Brownian motion with respect to a random stable measure, the randomness of both objects being defined on two independent probability spaces. Using a series representation method to simulate it, I obtain a control of the approximation. In the second part, I study processes obtained as limits of sums of micropulses, specifically focusing on behavior when "ups" and "downs" of the micropulses are not equal. Then, I generalize the processes obtained to processes with multidimensional indices. Processes obtained in this work vary from standard Brownian motions to multifractional Brownian sheets. Finally, I study a model from physic theory, a field created by charged particles randomly distributed in a hyperplan. The limit process is fractional, centered, Gaussian and in some cases well-known like fractional Brownian motion. Eventually, I study some of its characteristics, such as the number of local minima. This part raises many questions that have yet to be resolved.
Abstract FR:
Une première partie concerne la simulation du processus nommé Local Time Fractional Stable Motion (LTFSM). Ce processus, introduit par Cohen et Samorodnitsky en 2006, est défini comme l'intégrale du temps local d'un mouvement brownien fractionnaire par rapport à une mesure aléatoire stable, les deux aléas étant définis sur deux espaces de probabilité indépendants. La méthode repose sur la représentation en série du processus et on obtient un contrôle de l'approximation. Dans une seconde partie, on étudie des processus obtenus comme limite de sommes de micropulsations. Dans ce cas on étudie en particulier le comportement si les "montées" et les "descentes" ne sont pas égales. Enfin, on généralise ces processus à des index multidimensionnels. Les processus limites obtenus sont variés, du mouvement brownien standard à des draps browniens multifractionnaires selon les cas étudiés. Enfin, on étudie un modèle physique correspondant au champ créé par des particules chargées distribuées dans un hyperplan. Le processus limite est fractionnaire, gaussien, centré et, dans certains cas, connu (notamment le mouvement brownien fractionnaire). On étudie ensuite certaines propriétés, comme le nombre de minimum locaux obtenus. Cette partie soulève de nombreuses questions encore ouvertes.