Abstract FR:

Le mouvement brownien fractionnaire (MBF) défini par Mandelbrot et Van Ness (1968) est utilisé dans de nombreuses situations. Mais, de part sa définition, il ne peut modéliser que des processus de R à valeurs dans R. Pour étudier des radiographies d'os afin de déterminer si une personne est atteinte ou non de l'ostéoporose, nous avions besoin d'un champ défini sur R2 à valeurs dans R. Nous avons donc généralisé le MBF et construit le drap brownien fractionnaire (DBF) dépendant de deux paramètres a et b. Nous avons montré que ce champ, comme le MBF, était auto-simulaire, à accroissements stationnaires. Puis nous avons défini des estimateurs de ces paramètres et construit un test d'auto-similarité en utilisant des techniques d'Istas et Lang (1997) comme le fait Bardet (1999) pour le MBF. Ce test d'auto-similarité nous a permis de montrer que les radiographies d'os ne possédaient pas cette propriété. En collaboration avec A. Ayache, nous avons défini un nouveau champ : le drap brownien multifractionnaire (DBM), non auto-similaire, en substituant aux paramètres a et b des fonctions höldériennes comme l'ont fait Lévy-Vehel, Peltier (1995) ou Bénassi, Jaffard, Roux (1997) pour le MBF. Nous nous sommes intéressés aux propriétés locales de ce champ, puis nous avons construit des estimateurs des fonctions a et b afin d'appliquer ce nouveau modèle à la caractérisation de l'ostéoporose.