Abstract FR:

Les travaux presentes dans cette these portent sur certains problemes d'equations aux derivees partielles elliptiques non lineaires et s'organisent autour de trois themes principaux : le modele de ginzburg et landau des supraconducteurs, un modele de flammes et l'etude de proprietes qualitatives de solutions d'edp elliptiques. La premiere partie est consacree a l'etude de quelques problemes mathematiques pour les supraconducteurs de type ii, caracterises par un parametre de ginzburg-landau grand. On est alors ramene a l'etude asymptotique du comportement des minimiseurs d'une fonctionnelle d'energie, dependant de , quand tend vers l'infini. Les deux geometries envisagees, la plaque infinie et le cylindre infini, presentent des comportements tres differents. La deuxieme partie porte sur l'analyse d'un modele de combustion, la flamme avec point de stagnation : quand on envoie un jet bidimensionnel de combustible sur un mur chauffe, une flamme se forme au voisinage de la plaque si la vitesse du jet n'est pas trop grande. Il s'agit d'etudier mathematiquement le nombre de positions possibles pour le front de flamme en fonction de la vitesse initiale du jet. Dans la troisieme partie sont presentes quelques resultats qualitatifs pour diverses classes d'edp elliptiques. On prouve en particulier la symetrie des solutions de problemes surdetermines poses dans differents types de domaines non bornes : domaines exterieurs et cylindres notamment. On etudie enfin la multiplicite des solutions d'equations a donnee au bord singuliere. Dans tous ces problemes, on cherche des estimations a priori et des theoremes de compacite. Les principaux outils utilises sont le principe du maximum, les methodes de sur et sous solutions, de deplacement d'hyperplans et la theorie du degre topologique.