Abstract FR:

Dans la première partie de la thèse, j'introduis des outils inspirés de la théorie de morse stable dans le but d'étudier quelques problèmes de géométrie de contact, comme la classification des noeuds légendriens. Dans la seconde partie, je démontre que l'espace des géodésiques d'une variété de Hadamard de dimension n est naturellement symplectomorphe au cotangent de la sphère de dimension n - 1. Ceci permet d'appliquer les techniques de familles génératrices à certaines questions de géometrie riemanienne, telles que la minoration du nombre de diamètres des sous-variétés des espaces de Hadamard. Dans la troisième partie, j'introduis la notion de cobordisme légendrien pour une variété de contact quelconque, et je donne des résultats de classification des cobordismes légendriens sous-contraintes. Je montre par ailleurs que l'inégalité de Bennequin généralisée au genre slice n'est pas optimale. Dans la quatrième partie, je montre que l'on peut éliminer les rebroussements d'un front d'onde coorienté sur une surface modulo isotopie légendrienne et une opération de stabilisation dont la définition est inspirée des travaux de Fuchs et Tababachnikov sur les invariants de Vassiliev des noeuds légendriens. Dans la cinquième partie, je démontre des formules analogues aux formules de Plucker en géométrie algébrique pour les fronts d'ondes dans le plan et sur la sphère.