Méthodes de crible appliquées aux sommes de Kloosterman et aux petits écarts entre nombres premiers
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
In this thesis, we deal with two problems : sign changes of Kloosterman's sums Kl(1,1;n) for n with few prime factors, and small gaps between non-consecutive primes. In the first chapter, we improve on a result of Fouvry-Michel by iterating once the strange sieve they have introduced, in order to get a lower bound. This allows us to prove that Kl(1,1;n) changes sign infinitely often on the set of all n whose prime factors are greater that n^(1/22. 29) (instead of 23. 9). In the second chapter, we introduce Sato-Tate's vertical law into the asymptotic sieve. This implies new problems to deal with error terms ; we solve them using Barban-Davenport-Halberstam's theorem. We prove the following result : Kl(1,1;n) changes sign infinitely often on the set of all square-free n with at most 18 prime factors (instead of 23 for Fouvry-Michel). In this aim, we compute (thanks to the residue theorem) 5-fold integrals of rational fractions in Riemann zeta function. This computation is worked out in a very general setting through a technical lemma, to which Chapter 3 is devoted. The fourth chapter deals with such integrals, too, but which don't fit into that setting. These integrals appear in Goldston-Yildirim's works on multiple correlations of the truncated Von Mangoldt function. By combining this approach with Maier's, we improve on the best known upper bound (due to Maier) of liminf (p_(n+r)-p_n)/(log p_n) for r ≥2 (where p_n stands for the n-th prime number).
Abstract FR:
Dans cette thèse, on s'intéresse à deux problèmes : le changement de signe des sommes de Kloosterman Kl(1,1;n) pour n entier ayant peu de facteurs premiers, et les petits écarts entre nombres premiers non consécutifs. Dans le premier chapitre, on améliore un résultat de Fouvry-Michel en itérant une fois le crible étrange qu'ils ont introduit, afin d'obtenir une minoration. Ceci permet de démontrer que Kl(1,1;n) change une infinité de fois de signe sur l'ensemble des n dont tous les facteurs premiers sont supérieurs à n^(1/22. 29) (au lieu de 23. 9). Dans le deuxième chapitre, on introduit la loi de Sato-Tate verticale dans le crible asymptotique. Ceci entraîne de nouvelles difficultés pour traiter les termes d'erreur ; on les résout grâce au théorème de Barban-Davenport-Halberstam. On démontre le résultat suivant : Kl(1,1;n) change une infinité de fois de signe sur l'ensemble des n sans facteur carré ayant au plus 18 facteurs premiers (au lieu de 23 pour F-M). Pour cela, on calcule (à l'aide de la méthode des résidus) des intégrales quintuples de fractions rationnelles en la fonction zeta de Riemann. On a mené ce calcul de manière très générale dans un lemme technique, qui fait l'objet du troisième chapitre. Le quatrième chapitre concerne aussi le calcul de telles intégrales n'entrant pas dans le cadre précédent. Ces intégrales apparaissent dans les travaux de Goldston et Yildirim sur les corrélations multiples de la fonction de Von Mangoldt tronquée. En combinant cette approche avec celle de Maier, on améliore la meilleure majoration connue (due à Maier) de liminf (p_(n+r)-p_n)/(log p_n) quand r ≥2 (où p_n désigne le n-ième nombre premier).