Abstract FR:

Ma thèse porte sur l'étude du comportement de distances entre la mesure empirique d'un processus stationnaire et sa loi marginale (distance de Cramér-Von Mises ou de Wasserstein), dans le cas de variables aléatoires dépendantes au sens large, incluant certains systèmes dynamiques. Nous établissons, dans un second chapitre, un principe de déviations modérées, sous des conditions projectives, pour une suite stationnaire de variables aléatoires bornées à valeurs dans un espace de Hilbert, pour un processus adapté ou non. En applications, nous avons travaillé sur l'étude de la statistique de Cramér-Von Mises, sur les fonctions de processus linéaires et les chaines de Markov stables. Dans le troisième chapitre, par une approximation par des différences de martingales, nous obtenons un Théorème Limite Central pour des suites stationnaires ergodiques de variables aléatoires à valeurs dans L1, et satisfaisant des conditions projectives. Nous obtenons ainsi des résultats sur le comportement asymptotique de statistiques du type de Wasserstein pour une importante classe de suites dépendantes. En particulier, les résultats sont appliqués à l'étude de systèmes dynamiques et à celle des processus linéaires causaux. Dans le dernier chapitre, pour construire des intervalles de confiance asymptotiques pour la moyenne d'une suite stationnaire à partir du Théorème Limite Central, nous proposons un estimateur lissé de la densité spectrale. Nous y donnons des critères projectifs pour la convergence dans L1 d'un estimateur lissé de la densité spectrale. Via un Théorème Limite Central, nous obtenons des régions de confiance pour les paramètres dans un modèle de régression paramétrique.