Abstract FR:

L'objet de cette thèse est d'étudier un processus de dissolution-croissance où une phase solide est en contact avec une phase liquide. Ce phénomène s'accompagne d'un changement de géométrie de l'interface entre ces deux phases. Les lois physiques qui gouvernent ce processus conduisent mathématiquement à une loi de déplacement pour l'interface où la courbure moyenne apparait de façon non linéaire et à une équation parabolique pour la concentration de l'espèce chimique passée en solution. Il s'agit d'un problème de Stefan avec tension superficielle en dimension deux d'espace. Au chapitre 1, nous commençons par décrire le contexte physique et présenter la dérivation mathématique des équations pour la concentration et le déplacement de l'interface. Nous considérons au chapitre 2 le cas où l'interface est paramétrée sous la forme y=f(x,t). Nous montrons l'existence locale en temps d'une solution du problème dans des espaces de type Hölder en utilisant une méthode de point fixe. L’unicité est établie pour une classe de fonctions plus large que celle pour laquelle le résultat d'existence a été démontré. Nous étudions ensuite au chapitre 3 le cas où l'interface est une courbe simple fermée. L’interface est paramétrée par l'abscisse curviligne de l'interface initiale. Nous montrons alors l'existence locale en temps d'une solution de ce problème, en utilisant une méthode de point fixe. Au chapitre 4 nous présentons une méthode de résolution numérique. La difficulté majeure provient de ce que le domaine spatial varie au cours du temps, selon le déplacement de l'interface. Nous utilisons une méthode d'éléments finis pour la discrétisation de l'équation parabolique pour la concentration. Deux algorithmes s'appuyant sur des techniques différentes de calcul du terme de courbure ont été mis en œuvre pour calculer le déplacement de l'interface.