Estimation adaptative de l'intensité de certains processus ponctuels par sélection de modèle
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
In this thesis, we want to adapt model selection technics to the problem of estimating the intensity of point processes. More precisely, we want to prove that penalized projection estimators of the intensity are adaptive either in a family of projection estimators or for the minimax risk. We restrict ourselves to the inhomogeneous Poisson processes and to the counting processes with Aalen's multiplicative intensity. In both cases, we want to prove an oracle type inequality which shows that penalized projection estimators do quite as well as the best projection estimator for a given family of models. The key to derive oracle type inequalities is the concentration phenomena and more precisely the knowledge of some exponential inequalities which allow us to control in probability the deviations of chi-square type statistics upon their mean. We prove two different concentration inequalities. The first one is only valid for Poisson processes. It has the same orders of magnitude as the one due to M. Talagrand for suprema of empirical processes. The second one does not achieve these orders of magnitude but is valid for more general counting processes. This last result uses martingales technics which can be applied also to derive concentration inequalities for degenerate U-statistics of order 2 and also for double integrals with respect to a centred Poisson measure. We also compute some lower bounds for minimax risks and we show that penalized projection estimators reach these lower bounds up to some constants.
Abstract FR:
L'objet de cette thèse est d'adapter des techniques de sélection de modèle au cadre particulier de l'estimation d'intensité de processus ponctuels. Plus précisément, nous voulons montrer que les estimateurs par projection pénalisés de l'intensité sont adaptatifs soit dans une famille d'estimateurs par projection, soit pour le risque minimax. Nous nous sommes restreints à deux cas particuliers : les processus de Poisson inhomogènes et les processus de comptage à intensité multiplicative d'Aalen. Dans les deux cas, nous voulons trouver une inégalité de type oracle, qui garantit que les estimateurs par projection pénalisés ont un risque du même ordre de grandeur que le meilleur estimateur par projection pour une famille de modèles donnés. La clé qui permet de prouver des inégalités de type oracle est le phénomène de concentration de la mesure ou plus précisément la connaissance d'inégalités exponentielles, qui permettent de contrôler en probabilité les déviations de statistiques de type khi-deux au dessus de leur moyenne. Nous avons prouvé deux types d'inégalités de concentration. La première n'est valable que pour les processus de Poisson. Elle est comparable en terme d'ordre de grandeur à l'inégalité de M. Talagrand pour les suprema de processus empiriques. La deuxième est plus grossière mais elle est valable pour des processus de comptage beaucoup plus généraux. Cette dernière inégalité met en œuvre des techniques de martingales dont nous nous sommes inspirés pour prouver des inégalités de concentration pour des U-statistiques dégénérées d'ordre 2 ainsi, que pour des intégrales doubles par rapport à une mesure de Poisson recentrée. Nous calculons aussi certaines bornes inférieures pour les risques minimax et montrons que les estimateurs par projection pénalisés atteignent ces vitesses.