Abstract FR:

Le principal objectif de cette thèse est d'étudier les bifurcations d'un champ de vecteurs équivariant sur l'espace de représentation d'un groupe de Lie compact en passant par l'espace des orbites de cette action. On adapte d'abord des méthodes de caractérisation géométrique des équilibres bifurqués pour des représentations absolument irréductibles de groupes finis dues à Field et Richardson et basées sur la transversalité équivariante. La réduction à l'espace des orbites permet de considérer des représentations irréductibles générales et la bifurcation d'équilibres relatifs. On se pensche ensuite sur la question de l'existence de branches d'équilibres (relatifs) d'isotropie maximale pour les problèmes de bifurcation stationnaire ou de Hopf. On donne des résultats quantitatifs décrivant les scénarios possibles selon l'isotropie. L'ensemble de ces résultats était déjà accessible par d'autres techniques ; notre approche en donne un éclairage nouveau. Enfin, on donne une nouvelle définition pour l'hyperbolicité des zéros du champ de vecteurs induit sur l'espace des orbites. On en démontre l'équivalence avec l'hyperbolicié normale des équilibres relatifs du champ initial et on déduit les relations entre les variétés invariantes de ces zéros et des équilibres relatifs correspondants. Ces résultats sont basés sur une étude approfondie du cône tangent en zéro à l'espace des orbites et sur un thérème reliant les linéarisés des deux champs