Sous-groupes de petit indice des groupes de tresses et systèmes de réécritures
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Abstract EN:
Artin’s classification of transitive homomorphisms of the braid group Bn in the symmetric group Sk has several particularities in the cases n = 4 and n = 6. Using these results and a method already developed by Reidemeister and Schreier, we give, in a first time, a presentation up to conjugation of all the subgroups of Bn of smaller index than n. Thanks to known cohomology results, we deduce from their derivate group a beginning of classification up to isomorphisms of the subgroups of Bn of small index. In a second time, we will be interested in fidelity problems. These will be different as we study group actions or monoid actions. Having answered to the "word problem" in the cases of B3 and B4 thanks to a new way using rewriting systems, we use these results in order to generalize the ping-pong lemma and establish some fidelity criteria.
Abstract FR:
En étudiant, dans la première partie de cette thèse, la classification faite par Artin des homomorphismes transitifs du groupe de tresses Bn dans le groupe symétrique Sk, on observe plusieurs singularités dans les cas n = 4 et n = 6. On applique ensuite à ces résultats des méthodes déjà connues élaborées par Reidemeister et Schreier afin de déterminer, dans une deuxième partie, une présentation à conjugaison près de chacun des sous-groupes de Bn d’indice plus petit ou égal à n. En déterminant les abélianisés de ceux-ci, et grâce à des résultats de cohomologie connus, on en déduira un classement plus fin, qui permet entre autres de cataloguer à isomorphisme près la plupart des sous-groupes de Bn. Après s’être intéressé à des propriétés algébriques provoquées par des actions de groupes, la troisième partie, quant à elle, sera consacrée à l’étude plus précise du problème de la fidélité, qui sera différent selon que l’on s’intéresse aux actions de groupe ou aux actions de monoïdes. Après avoir répondu au problème du mot d’une nouvelle manière grâce à des systèmes de réécriture dans les cas de B3 et B4, on verra comment on peut se servir du type de résultats obtenus pour établir des critères de fidélité en généralisant le lemme du ping-pong et un critère de Krammer.