La suite spectrale de Leray-Serre en cohomologie de Floer pour variétés symplectiques compactes à bord de type contact
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
Unlike Floer homology groups for closed manifolds, the Floer homology groups for compact manifolds with contact type boundary have no topological correspondent. The aim of this thesis is to describe their qualitative properties when the manifold is endowed with supplementary topological structure. More specifically, we consider symplectic tibrations (including trivial ones). The first chapter is divided into two parts: the first one compares the different constructions of Floer homology and underlines its specificity for manifolds with boundary, that is the need to obtain a priori estimates on the solutions of Floer's equation. We explain the relationship between Floer homology groups and Weinstein's conjecture and we compute (using a new method) the Floer homology of a ball in a complex vector space. The second part presents an extension of the definition of Floer homology by using "asymptotically linear" Hamiltonians. This extension will be used later on. We choose the framework of non-compact manifolds which are convex at infinity, that is symplectic completions of compact manifolds with contact type boundary. The second chapter proves the Künneth formula for a product of manifolds with restricted contact type boundary. This corresponds to a trivial symplectic fibration. The third chapter gives a complete description of the classical Leray-Serre spectral sequence in exclusive Morse homological terms, a simple model for Floer homology. The fourth chapter studies the existence of a spectral sequence of Leray-Serre type for a certain kind of symplectic fibrations over a closed symplectic base. The existence of the spectral sequence is proved for hermitian line bundles of negative curvature. In the general case, its existence is reduced to an energy estimate that we conjecture to be true.
Abstract FR:
Les groupes d'homologie de Floer pour variétés compactes à bord de type contact n'ont pas de correspondant topologique, à la différence des variétés fermées. Le but de cette thèse est d'en donner des propriétés qualitatives lorsque la variété est munie de structures topologiques supplémentaires. Nous avons en vue les fibrations symplectiques (éventuellement triviales). Le premier chapitre de la thèse comprend deux parties: la première compare les différentes constructions de l'homologie de Floer et met en relief le principe spécifique aux variétés à bord, à savoir la nécessité d'obtenir des estimations a priori sur les solutions de l'équation de Floer. On explique comment les groupes d'homologie de Floer sont reliés à la conjecture de Weinstein et on calcule par une méthode nouvelle l'homologie d'une boule dans un espace vectoriel complexe. La deuxième partie présente une extension de la définition des groupes d'homologie de Floer par des hamiltoniens " asymptotiquement linéaires ", extension que nous utiliserons par la suite. Nous travaillons directement dans des variétés non compactes convexes à l'infini, qui sont des complétées symplectiques de variétés compactes à bord de type contact. Le deuxième chapitre démontre la formule de Künneth en homologie de Floer pour un produit de variétés à bord de type contact restreint. Ceci correspond au cas d'une fibration triviale. Le troisième chapitre donne une interprétation de la suite spectrale de Leray-Serre classique en termes exclusifs d'homologie de Morse, qui constitue un modèle simple pour l'homologie de Floer. Le quatrième chapitre étudie l'existence d'une suite spectrale de Leray-Serre pour un certain type de fibrations symplectiques à bord au-dessus d'une base fermée. L'existence de la suite spectrale est établie pour les fibrés en droites hermitiens à courbure négative. Dans le cas général, son existence est ramenée à une estimation d'énergie pour trajectoires de Floer, qui est conjecturée.