Abstract FR:

Cette thèse est consacrée à l'étude de la régularité de l'opérateur de Cauchy-Riemann ainsi qu'aux applications qu'elle apporte aux problèmes ouverts par D. Cerveau en 1993 et par T. Ohsawa en 2007, et qui concernent la non-existence des hypersurfaces Levi-plates lisses dans les variétés kählériennes compactes. D. Cerveau a conjecturé la non-existence des hypersurfaces Levi-plates lisses dans les espaces projectifs complexes. Dans une première partie, nous travaillons sur la régularité Sobolev de l'opérateur d-bar dans deux situations géométriques particulières. Dans une deuxième partie, nous prouvons la non-existence des hypersurfaces réelles Levi-plates de classe Sobolev W^s, s>9/2, dans les espaces projectifs complexes en dimension au moins 3, ce qui est une amélioration de la régularité dans le théorème de Y. -T. Siu. Nous montrons que sous une certaine propriété de positivité sur des termes de courbure bisectionnelle d'une variété kählérienne compacte, il n'existe pas de fonction strictement plurisousharmonique à croissance minimale dans le complémentaire d'une hypersurface réelle Levi-plate de classe [dollar] C^\infty [dollar]. Dans une dernière partie, nous donnons une application d'une méthode due à Berndtsson-Charpentier pour obtenir un résultat d'estimations L^2 pour le d-bar.