Abstract FR:

Dans une premiere partie de cette these, nous nous interessons a la determination de constantes explicites dans diverses inegalites de sobolev sur des varietes riemanniennes compactes. Comme applications geometriques de ces inegalites, nous obtenons des resultats de pincement de la premiere valeur propre du laplacien et du diametre, ainsi que des estimees de l'energie et de la m-energie des applications harmoniques. Dans une deuxieme partie, nous obtenons des majorations de la premiere valeur propre du laplacien (resp. De la deuxieme valeur propre d'un operateur de schrodinger): par un invariant conforme, puis par un invariant extrinseque (dans le cas des sous-varietes). L'etude de l'effet d'une transformation conforme de la sphere sur le volume d'une sous-variete minimale de cette derniere nous permet de mettre en evidence quelques proprietes conformes extremales, verifiees par une classe importante et naturelle de sous-varietes minimales des spheres: celles qui s'immergent par leur premier espace propre. La majoration de la seconde valeur propre d'un operateur de schrodinger nous permet d'etudier la stabilite des hypersurfaces minimales ou a courbure moyenne constante. Enfin, cette partie de la these contient egalement des resultats de rigidite spectrale