Abstract FR:

Cette thèse se compose en trois parties: 1) Unicité du problème de Cauchy. Pour ce problème, l'hypothèse de pseudo-convexité joue un rôle crucial. On étudie, soit la construction de contre-exemples lorsque cette hypothèse n'est pas vérifiée, soit l'unicité sous des hypothèses de faible pseudo-convexité; 2) Ensembles nodaux. On étudie la dimension de Hausdorff et la capacité des ensembles nodaux des solutions d'équations elliptiques. On généralise des résultats connus pour le laplacien; 3) Régularité des problèmes elliptiques. On donne ici des résultats de régularité dans un cadre relativement général, de solutions des problèmes elliptiques non linéaires avec exposants critiques de Sobolev