Etude de quelques problèmes d'analyse et de géométrie sur les variétés asymptotiquement hyperboliques
Institution:
Montpellier 2Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
This thesis is divided in two parts. In the first part, we study the compactification of asymptotically locally hyperbolic manifolds, that is to say non-compact Riemannian manifolds whose sectional curvature tends to -1 at infinity. We show how the asymptotic behavior of the curvature and of its covariant derivatives influences the regularity of the compactified metric. In the Einstein case, we prove that the estimate on the sectional curvature implies the control of all covariant derivatives of the Riemann tensor, we give a conjecture on the behavior at infinity of the sectional curvature and give some demo tracks. The second part deals with the constraint equations in general relativity on an asymptotically hyperbolic manifold. First, we give a construction of solutions to these equations containing apparent horizons using the conformal method. Then we study the problem of their linearization-stability. We show in particular that initial data corresponding to empty space-times are linearization-stable in a certain range of weight. For larger weights, we show that these equations become unstable
Abstract FR:
Cette thèse est divisée en deux parties. Dans une première partie, nous étudions la compactification des variétés asymptotiquement localement hyperboliques, c'est-à-dire des variétés riemanniennes non-compactes dont la courbure sectionnelle tend vers -1 à l'infini. Nous montrons comment le comportement asymptotique de la courbure et de ses dérivées covariantes influence la régularité de la métrique compactifiée. Dans le cas Einstein, nous montrons que le comportement asymptotique de la courbure contrôle celui de ses dérivées covariantes, nous énonçons une conjecture sur le comportement à l'infini de la courbure sectionnelle et nous donnons quelques pistes de démonstration. La seconde partie traite des équations de contrainte en relativité générale sur les variétés asymptotiquement hyperboliques. Tout d'abord, nous construisons des solutions de ces équations contenant des horizons apparents à l'aide de la méthode conforme, puis nous étudions le problème de leur stabilité par linéarisation. Nous démontrons en particulier que les données initiales correspondant aux espaces-temps vides sont stables par linéarisation dans un certain intervalle de poids. Pour des poids plus grands, nous montrons que ces équations deviennent instables