Abstract FR:

Cette these comporte trois parties independantes. Dans la premiere partie on s'interesse a l'approximation numerique de la solution entropique d'une loi de conservation. On propose l'etude d'une nouvelle classe de schemas numeriques provenant des methodes d'approximation des equations d'hamilton-jacobi-bellman. On obtient ainsi une classe de schemas numeriques qui sont non-conservatifs, mais pour lequels on etablit un theoreme general de convergence vers la solution entropique. Dans la deuxieme partie on etudie la solution multivoque d'une loi de conservation. Grace a la methode des caracteristiques, cette etude est equivalente a l'etude d'une equation de transport libre que l'on cherche a resoudre en resolvant un systeme ferme d'equations des moments associes. C'est ainsi qu'on est conduit naturellement, d'une part a la construction d'un modele cinetique par un principe de minimisation d'entropie et, d'autre part a la notion de solutions entropiques a au plus k branches comme solutions du modele cinetique. Un des resultats que nous obtenons est l'existence de ces solutions. Dans la troisieme partie nous etudions un algorithme rapide pour le calcul de la transformee de legendre-fenchel discrete d'une fonction reelle. Nous montrons que l'algorithme converge et que l'ordre de convergence croit avec la regularite de la fonction transformee. Nous presentons des applications de cet algorithme aux equations d'hamilton-jacobi pour les problemes de propagation de flamme et aux lois de conservation