Abstract FR:

Nous nous intéressons au problème de la convergence ponctuelle de suites de moyennes ergodiques du type 1/N "sigma"n<N Tn f(x) Sn G(x) (*), ou T et S sont deux transformations d'un espace de probabilité (X,A,u) préservant toutes deux la mesure, x [appartient à] X et f et g deux fonctions de L2 (u). Dans une première partie, sous des hypothèses variées sur le système dynamique (X,A,u,T,S), nous démontrons la convergence presque sure des moyennes (*). On introduit la notion de propriété ergodique produit forte d'un couple de transformations préservant la mesure, propriété qui implique la convergence des suites (*). On illustre cette propriété par des exemples et des contre-exemples. Dans la seconde partie, nous étudions l'équidistribution modulo 1 pour presque tout t [appartient à] R de suites du type (t"lambda"nnkF(n"theta"))n, ou "lambda">1, k > 0, F de RD dans R ZD-périodique suffisamment régulière, "theta" [appartient à] RD. Nous considérons également les combinaisons linéaires de telles suites. Ce problème se rattache à l'étude des moyennes (*) lorsque T et S sont des endomorphismes algébriques d'un tore de dimension finie. Nous le résolvons en toute généralité pour "lambda" > 1, et avec une condition diophantienne sur "theta" pour "lambda" = 1.