Abstract FR:

Cette thèse est consacrée à l'étude des hypersurfaces algébriques réelles plongées dans l'espace euclidien de dimension m. Risler, inspiré de la borne d'Harnack sur le nombre de composantes connexes d'une courbe algébrique réelle de degré n, a montré que la courbure totale des hypersurfaçes alggbriques réelles est borné en fonction de son degré ou plus, généralement en fonction de son polygone de Newton. Plus tard, il a généralisé cette borne au cas des hypersurfaces algébriques de dimension quelconque. En utilisant la méthode de Viro, on construit des familles à un paramètre d'hyperersurfaces algébriquesréelles telles que la courbure totale de ces hypersurfaces tend versla borne de Risler quand le paramètre tend vers zéro. En particulier, on voit les cas des T-hypersurfaces qui sont des hypersurfaces construites avec la méthode de Viro pour lesquelles la décomposition utilisée est simpliciale et on montre que d'une certaine façon les T-hypersurfaces sont qénériquement « maximales » par rapport à la Courbure totale. La manière de les construire est inspirée de la géométrie intégrale: on introduit ainsi une version de la théorie de Morse dans la méthode de Viro, et on fait l'étude des points critiques de l' hypersurface par rapport au pinceau d'hyperplans parallèles à un hyperplan de coordonnées. On montre en particulier que la borne de Risler est optimale, pour tout dimension et tout degré, non seulement pour les hypersurfaces algébriques réelles mais aussi pour les T-hypersurfaces et que les hypersurfaces algébriques réelles "maximales" par rapport à la Courbure totale ont moins de restrictionstopologiques que ce qu'on attendait.