Abstract FR:

On présente ici des résultats nouveaux d'existence, d'unicité et de régularité maximale pour une équation différentielle abstraite du second ordre de type elliptique avec des conditions aux limites non homogènes. Les opérateurs considérés sont linéaires fermes de domaines non nécessairement denses dans un espace de Banach. Ces domaines peuvent effectivement dépendre de t. On considère deux ensembles d'hypothèses de natures différentes qui précisent cette dépendance. Le premier ensemble d'hypothèses est facilement vérifiable dans les cas concrets d'opérateurs différentiels de type elliptique à coefficients variables et uniformément holderiens par rapport à la variable t. Le second ensemble d'hypothèses suppose la differentiabilité de la résolvante des opérateurs par rapport à t. Ceci se traduit dans les cas concrets par la differentiabilité en t des coefficients des opérateurs considérés. Dans les deux cas on obtient aussi les conditions nécessaires et suffisantes sur les données pour avoir des solutions strictes et la régularité maximale. Dans ce travail, la méthode utilisée se base essentiellement sur la théorie des sommes d'opérateurs linéaires développée par G. Da Prato et P. Grisvard. On construit ainsi explicitement la solution sous forme de perturbation d'une intégrale de Dunford. On étudie ensuite toutes les propriétés de cette solution en utilisant les espaces d'interpolation réelle et leur caractérisation par la croissance de la résolvante et les techniques inhérentes à la théorie des semi-groupes analytiques développée dans l'étude des équations paraboliques