Abstract FR:

Classiquement, il est facile d'admettre que : - tout element de l'algebre libre, a un certain nombre de generateurs, d'une theorie puremement equationnelle est represente par au moins un des termes qu'on peut ecrire a l'aide des seuls symboles de la signature sous-jacente et des variables que sont les generateurs, - deux tels elements sont egaux ssi deux des termes qui les representent sont connectes par reecriture, lorsqu'on a substitue a chaque equation de la theorie equationnelle originelle une regle de reecriture. Ainsi, en assouplissant mecaniquement la theorie purement equationnelle originelle en une theorie purement relationnelle (i. E. A reecritures), les algebres libres de la premiere sont constituees des composantes connexes par reecriture des modeles libres de la deuxieme : il y a suffisante completude connexe. Il n'en est pas ainsi, en general, pour une theorie essentiellement equationnelle quelconque. C'est ce qui est revele dans la partie i de ce travail, ou il apparait necessaire d'assouplir moins simplement que prevu la theorie des categories localement cartesiennes (lcc) en celle des categories dites lax-localement cartesiennes (llcc) pour disposer encore d'une representation suffisamment complete par connexite des elements d'une lcc libre par les termes d'une llcc libre. Dans la partie ii, nous precisons avec l'exact degre de generalite requis ce qu'il convient de comprendre par theories essentiellement equationnelles (en simplifiant : ce sont des presentations de categories de kleisli), puis par theories essentiellement relationnelles (pour simplifier : ce sont des presentations de categories de kleisli enrichies, par exemple par reecriture) et, enfin, quand une theorie du deuxieme genre peut etre considere comme un assouplissement d'une theorie du premier genre et, ce, de sorte qu'il y ait suffisante completude connexe (en utilisant tant des changements d'enrichissements que des enrichissements co-representables).