thesis

Points rationnels sur les espaces homogènes

Defense date:

Jan. 1, 2005

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Institution:

Paris 11

Disciplines:

Mathematics

Authors:

Directors:

Abstract EN:

This thesis presents two results concerning homogeneous spaces of algebraic groups. In the first part, we consider the following question, recently asked by Burt Totaro:Let k be a field, G a linear algebraic k-group, and X a quasi-projective variety, endowed with the structure of a homogeneous space of G. ﷡Assume there exists a zero-cycle of degree d>0 on X; that is to say, there exists a family of closed points of X, having the property that the gcd of thedegrees (over k) of their residue fields divides d. Can we say that X has a rational point in a separable field extension of k, of degree dividing d ?We show that, in general, the answer is negative. In particular, we produce a counter-example X when k is a number field. ﷡The space X is geometrically rational, and a smooth k-compactification of X cannot have a k-rational point. This suggests to consider﷡the following general question: let X be a homogeneous space of an algebraic group (over a field k), such that X admits a k-compactification having a k-rational point. Then, does X itself possess a rational point ? In the second part of this thesis, we show the answer is positive,in full generality. Roughly speaking, we use cohomological tools to reduce the problem to the case of torsors under semi-simple groups, which is settled by the theory of Bruhat and Tits.

Abstract FR:

Cette thèse présente deux résultats portant sur les espaces homogènes des groupes algébriques. Dans une première partie, on considère la question suivante, récemment posée par Burt Totaro:Soit k un corps, G un k-groupe algébrique linéaire et X une variété quasi-projective, munie d'une structure de G-espace homogène. Supposons qu'il existe sur X un zéro-cycle de degré d>0; autrement dit, une famille de points fermés de X, dont le pgcd des degrés (sur k) des corps résiduels divise d. Peut-on alors dire que X possède un point rationnel dans une extension de corps séparable de k, de degré divisant d ?Nous répondons négativement à cette question. En particulier, nous produisons un contre-exemple X lorsque k est un corps de nombres. L'espace X en question est géométriquement rationnel, et une k-compactification lisse de X ne peut pas posséder de point k-rationnel. Cela soulève naturellement la question générale suivante: soit X un espace homogène d'un groupe algébrique (sur un corps k ), tel que X admette une k-compactification possédant un point k-rationnel. Peut-on dire que X lui-même possède un point rationnel ? Dans une deuxième partie, nous considérons cette question, pour y apporter une réponse positive en toute généralité. Tout le travail consiste, à l'aide d'outils cohomologiques, à se ramener au cas d'un torseur sous un groupe semi-simple, qui est résolu par la théorie de Bruhat et Tits.