Cogèbre binomiale et calcul ombral des opérateurs différenciels
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Abstract EN:
This thesis is composed of two parts whose subjects are closely dependent. The first part builds an umbral calculus of differential operators. This new calculus extends traditional umbral calculus in two directions : on the one hand, one frees oneself from any restrictive assumption on the characteristic and the base field is replaced by an associative, commutative ring with identity R of unspecified characteristic ; on the second hand, the ring of the polynomials is replaced by a ring of formal differential operators built using a derivation ? of R. When the derivation ? is trivial, the associated ring of the formal differential operators is no other that the algebra R[x], so that our work strictly contains the traditional case of Roman and Rota. As an application of this new calculation, one obtains differential identities and formulas for the reversion of the formal series of Hurwitz. In the second part, one determines, if the base ring is a reduced ring of characteristic a prime number p, all the continuous endomorphisms of the algebra of Hurwitz HR, or, which is equivalent, the endomorphisms of the univariate binomial coalgebra B1. One establishes the link with other methods which allow to build endomorphisms of B1. These methods, already present in the literature, do not enable to determine all the endomorphisms of B1, as concrete examples show
Abstract FR:
Cette thèse se compose de deux parties dont les sujets sont étroitement liés. La première partie construit un calcul ombral des opérateurs différentiels. Ce nouveau calcul étend le calcul ombral classique dans deux directions : d'une part, on s'affranchit de toute hypothèse restrictive sur la caractéristique et le corps de base est remplacé par un anneau R, associatif, commutatif et unifère de caractéristique quelconque ; d'autre part, l'anneau des polynômes est remplacé par un anneau d'opérateurs différentiels formels construit à l'aide d'une dérivation ? de R. Lorsque la dérivation ? est nulle, l'anneau des opérateurs différentiels formels associé n'est autre que l'algèbre R[x], de sorte que notre exposé contient strictement le cas classique de Roman et Rota. Comme application de ce nouveau calcul, on obtient des identités différentielles et des formules pour la réversion des séries de Hurwitz formelles. Dans la deuxième partie, on détermine, dans le cas où l'anneau de base est un anneau réduit de caractéristique un nombre premier p, tous les endomorphismes continus de l'algèbre de Hurwitz HR, ou, ce qui est équivalent, les endomorphismes de la cogèbre binomiale univariée B1. On fait le lien avec d'autres méthodes permettant de construire des endomorphismes de B1. Ces méthodes, déjà présentes dans la littérature, ne permettent pas de déterminer tous les endomorphismes de B1, comme on le montre par des exemples concrets