Etude de deux classes de groupes nilpotents de pas deux
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
The aim of this PhD work is to study the Lp-boundedness of operators on two classes of two-step nilpotent Lie groups, using Plancherel formulas and spherical functions as tools. The first class of groups consist s of the groups of Heisenberg type, and the second, of the two-step free nilpotent Lie groups (denote Nv,2 for v generators). In the latter case, we develop a radial Fourier calculus. Our study has focused on the maximal functions associated with Koranyi spheres, together with their square functions, and the convolution operator defined with the radial Fourier calculus on the two-step free nilpotent Lie group (radial Fourier multiplier problem). In fact, one chapter of this work is devoted to the proof of Lp-inequalities for the maximal spherical function on the two considered classes of groups. Our method is based on interpolation for the same operator family as in the euclidean case, on Lp-boundedness for the standard maximal function, and L2-inequalities for square functions. These L2-inequalities are based on Plancherel formula and on the properties of bounded spherical functions for orthogonal groups. On Nv,2, we construct the bounded spherical functions using representations of the semidirect product of Nv,2 with the orthogonal group. We also obtain some properties of the Kohn sublaplacian and the radial Plancherel measure. Then we present a first study of the radial Fourier multiplier problem, with the aim of giving our solutions for some technical difficulties.
Abstract FR:
Le but de ce travail est l'étude de la continuité Lp de certains opérateurs sur deux classes de groupes de Lie nilpotents de pas deux; les outils choisis sont des formules de Plancherel et des fonctions sphériques. La première classe de groupes est formée des groupes de type Heisenberg, la seconde des groupes de lie nilpotents libres de pas 2 (notés Nv,2 pour v générateurs). Pour ce dernier, nous avons développé un calcul de Fourier radial. Les opérateurs principalement étudiés sont les fonctions maximales associées aux sphères de Koranyi et leurs fonctions d'aire, ainsi que les opérateurs de convolution définis grace au calcul de Fourier radial sur Nv,2 (problème des multiplicateurs). En effet, un chapitre de cette thèse est consacré à la démonstration d'inégalités Lp pour la fonction maximale sphérique sur les groupes de type Heisenerg et Nv,2. Notre méthode repose sur l'interpolation de la meme famille analytique d'opérateurs que dans le cas euclidien, sur la continuité Lp de la fonction maximale standard et le contrôle L2 de fonctions d'aire. Pour établir ces inégalités L2, nous utiliserons des formules de Plancherel et des fonctions sphériques pour le groupe orthogonal. Sur Nv,2, nous avons construit les fonctions sphériques bornées à l'aide de la théorie des représentations du groupe produit semi-direct de Nv,2 par le groupe orthogonal. Nous avons ensuite obtenu des propriétés du sous-laplacien de Kohn et la mesure de Plancherel radiale. Enfin, nous avons mené une première étude du problème des multiplicateurs définis par passage en Fourier sphérique sur le groupe Nv,2, essentiellement dans le but d'exposer nos solutions à quelques points techniques.