Abstract FR:

Donnons-nous sur une variété compacte complexe un fibre en droites holomorphe hermitien positif E muni d'une métrique dont la courbure est positive. J'établis, dans un travail commun avec J. -M. Bismut, une formule asymptotique qui donne le logarithme de la torsion analytique de Ray-Singer du complexe de Dolbeault A coefficients dans le fibré et tensorisé un grand nombre à la fois. La démonstration repose sur la méthode du noyau de la chaleur. La formule est ensuite généralisée au cas où E est un fibre vectoriel de rang quelconque en substituant aux puissances tensorielles de E des puissances symétriques. Dans la seconde partie de la thèse, je définis la classe de Segre équivariante d'un fibre en cones muni de l'action d'un groupe de Lie compact connexe et j'établis une formule multiplicative pour les classes de Segre équivariantes. Soit U la déformation quantique définie par V. G. Drinfeld et M. Jimbo de l'algèbre enveloppante du groupe spécial linéaire complexe. En s'inspirant d'une construction de A. Beilinson, G. Lusztig et R. Mac Pherson, V. Ginzburg a construit une représentation de U dans l'espace de cohomologie de la variété des drapeaux non complets du groupe spécial linéaire. Dans la troisième partie de la thèse, je donne une expression simple de cette représentation en termes d'action de permutations sur des polynomes harmoniques.