Abstract FR:

La notion de m. N-espace et ses connections avec les theories des espaces d'operateurs et espaces de banach fait l'objet de la premiere partie de cette these. Un m. N-espace est la donnee d'un espace de banach x avec une norme sur l'espace vectoriel des n fois n matrices sur x qui satisfait certaines conditions analogues aux conditions de ruan dans la theorie des espaces d'operateurs. On etablie une theorie inspiree par les resultats de blecher et paulsen sur les espaces d'operateurs, en particulier il y a les notions d'espace dual et des structures d'espace d'operateurs minimale et maximale associes a un m. N-espace. Une autre section est consacree a une certaine classe de produits tensoriels, que l'on appelle raisonnables, ou des analogues du produit tensoriel de haagerup generalisent les produits tensoriels injectifs et projectifs des espaces de banach. La deuxieme partie de la these est consacree a l'etude d'une certaine inegalite pour les normes des sommes de certaines unitaires. Le principe combinatoire derriere cette inegalite est la notion des moments mixtes alternees non-negatifs, et celles-ci occupent la premiere section. Ensuite on montre que dans le cas particulier d'operateurs de convolution sur un groupe discret on a egalite dans cette inegalite si et seulement si le support de l'operateur en consideration satisfait la propriete de leinert, ainsi generalisant un resultat de kesten. Dans la section suivante on donne un contre-exemple a une conjecture sur la structure des unitaires pour lesquelles l'inegalite est une egalite en utilisant les representations du groupe libre construites par pytlik et szwarc. Pourtant on peut montrer des inegalites pour les sous-familles des familles des unitaires dont la somme atteint une norme minimale. Enfin, on etablie une inegalite pour les operateurs de convolution libres a valeurs operateurs, qui donne comme corollaire la constante optimale dans une inegalite de haagerup et pisier.