Inégalités géométriques pour des mesures long-concaves
Institution:
Toulouse 3Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
In most of this thesis, we study geometric inequalities for some log-concave measures. We give a streamlined semigroup proof of Gaussian Brunn-Minkowski inequality in the case of several sets, with a characterization of the coefficients. Our method also yields semigroup proofs of Brascamp-Lieb inequality and of its reverse form. Then, we show an isoperimetric inequality with a universal constant for isotropic log-concave measures whose density depends only on the radius. This result improves the Cheeger inequality proved by Bobkov. Kannan, Lovász et Simonovits conjectured that any isotropic log-concave measures satisfy a Cheeger inequality with a universal constant. We give new examples for which the conjecture comes true, as uniform measures on convex sets of revolution, and methods to construct other ones. The last part deal with the hypergroup property. It allows the description of all Markov kernels whose eigenvectors are given.
Abstract FR:
Dans la majeure partie de cette thèse, nous étudions des inégalités géométriques pour certaines mesures log-concaves. Nous donnons une preuve directe par semigroupe de l'inégalité de Brunn-Minkowski gaussienne dans le cas de plusieurs ensembles, avec une caractérisation des coefficients. La même méthode permet de retrouver les inégalités de Brascamp-Lieb et Brascamp Lieb inverse pour la mesure de Lebesgue. Nous démontrons ensuite une inégalité isopérimétrique avec constante universelle pour les mesures log-concaves isotropes dont la densité ne dépend que du rayon. Ce résultat améliore l'inégalité de Cheeger démontrée par Bobkov. Kannan, Lovász et Simonovits ont conjecturé que toute mesure log-concave isotrope vérifie l'inégalité de Cheeger avec constante universelle. Nous donnons de nouveaux exemples où cette conjecture est vérifiée, comme le cas de la mesure uniforme sur un convexe de révolution, et des méthodes pour en construire d'autres. La dernière partie concerne la propriété d'hypergroupe. Elle nous permet de décrire tous les noyaux markoviens admettant une famille prescrite de fonctions comme base de vecteurs propres. Elle est vérifiée sur les groupes finis, sur certaines bases de Sturm-Liouville et sur les polynômes de Jacobi.