Sur la partie principale des déformations de champs de vecteurs hamiltoniens
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Abstract EN:
The subject of this thesis is the study of the principal Poincaré-Pontriaguine function associated to small polynomial perturbations of Hamiltonian vector fields. Firstly we prove that in the Hamiltonian triangle case generically the principal Poincaré-Pontriaguine function of order two is not an Abelian integral and that the principal Poincaré-Pontriaguine function of order k belongs to the {C}[t,1/t]-module generated by the integrals I0(t), I2(t) and I*(t). We extend this result to a hamiltonian formed by a product of (d+1) real linear functions in two variables such that the lines are in a general position in {R}2, that is, the lines are distinct, non parallel, no three of them have a common point. We prove in this case that the principal Poincaré-Pontriaguine function Mk(t) of order k belongs to the {C}[t,1/t]- module generated by Abelian integrals and not Abelian integrals of type I*{i,j} (t) with 1≤i≤j≤d. Moreover those integrals are iterated integrals of length two.
Abstract FR:
Le sujet de cette thèse est l'étude de la fonction principale de Poincaré-Pontriaguine associée aux petites déformations polynomiales de champs de vecteurs hamiltoniens. On prouve d'abord que dans le cas du triangle hamiltonien, génériquement, la fonction principale de Poincaré-Pontriaguine d'ordre deux n'est pas une intégrale abélienne et que la fonction principale d'ordre k appartient au {C}[t,1/t]-module engendré par les intégrales I0(t), I2(t) et I*(t). On étend ce résultat à un hamiltonien formé par un produit de d+1 fonctions linéaires réelles en x,y telles que les droites associées aux fonctions linéaires sont dans {R}2 en position générale, elles sont différentes, non parallèles et trois de ces droites ne concourent pas. On prouve que la fonction principale de Poincaré-Pontriaguine Mk(t) d'ordre k appartient au {C}[t,1/t] - module engendré par des intégrales abéliennes et par des intégrales non abéliennes du type I*{i,j} (t) avec 1≤i≤j≤d. De plus, ce sont des intégrales itérées de longueur deux, quel que soit k.