Algorithmes par décomposition de domaine et accélération multigrille pour le calcul d'écoulement compressibles
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This thesis deals with non-overlapping domain decomposition algorithms for the resolution of the Euler and Navier-Stokes equations. A backward Euler discretisation in time provides a problem to solve at each time step. An additive Schwarz type algorithm is formulated in the general frame of hyperbolic systems whose convergence is further analysed by means of a Fourier transform technique in the case of the Euler equations. Numerical experiments done in a discrete frame of a mixed finite element-finite volume approximation confirm the theoretical analisys. Local problems are solved by using multigrid algorithms. A complete steady flow is solved while local problems are not solved exactely which leads to a better performance. Two techniques of acceleration of the convergence of the algorithm applied to a linear system are used: an algebraic preconditionning technique and optimized interface conditions. The latter are derived using the Smith's factorization for polynomial matrices issued from a partial Laplace transform of the Euler equations, by generalizing the classical transmission conditions and by optimizing the convergence rate of the Schwarz algorithm. Numerical tests confirm their superiority with respect to classical transmission conditions. The second part is about parallel resolution of the Navier-Stokes.
Abstract FR:
Le mémoire de cette thèse porte sur le algorithmes par décomposition de domaine sans recouvrement pour la résolution des équations d'Euler et Navier-Stokes. A la suite d'une discrétisation temporelle par une méthode d'Euler on est amenés a résoudre un problème à chaque pas de temps. Un méthode de type Schwarz additif est formulée pour les systèmes hyperboliques et dont la convergence est étudiée par une technique de transformée de Fourier pour les équations d'Euler. Les expériences numériques réalisées dans un cadre discret d'approximation mixte éléments finis-volumes finies confirment la théorie. Les problèmes locaux sont résolus en utilisant des algorithmes multigrille. Le calcul d'un écoulement stationnaire complet est réalisé dans les conditions d'une faible résolution locale ce qui conduit à un gain temporel. Deux techniques d'accélération de la convergence de résolution d'un système linéaire sont essayées: le préconditionnement algébrique et les conditions d'interface optimisées. Les dernières sont dérivées en utilisant la factorisation de Smith des matrices polynômiales issues d'une transformation de Laplace partielle des équations d'Euler par généralisation des conditions classiques et en optimisant le taux de convergence de l'algorithme de Schwarz. Les tests numériques confirment leur viabilité. La deuxième partie traite la résolution parallèle des équations de Navier-Stokes. Les conditions à l'interface entre les sous-domaines imposent la continuité du flux total convectif et diffusif. On résout le système posé à l'interface obtenu par sous-structuration, par une méthode de type Krylov. Le calcul d'un écoulement stationnaire complet est réalisé. La validation finale de la méthode de décomposition de domaine est faite sur un calcul instationnaire en utilisant un schéma d'intégration en temps précise au second ordre.