Nombre de rotation et dynamique faiblement hyperbolique
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
This thesis deals with two main branches of dynamical systems: the rotation number theory for degree-one circle endomorphisms and for annulus twist maps, and the theory of non-uniformly hyperbolic dynamical systems. First we define the almost sure rotation number for some circle endomorphisms. It is the rotation number for almost every point of the circle. We describe it for a family of expanding piecewise affine bimodal endomorphisms. We study its regularity and show that the set of parameters which give an irrational almost sure rotation number has full Lebesgue measure. Then we consider annulus twist maps and more precisely bimodal maps from the fattened Arnol'd family. A key role is played by twist-free orbits. It is shown that the set of maps that possess a given rotation number formes, in the parameter space, a tongue bounded by two surfaces. The boundary of rational tongues is associated with homoclinic and saddle-node bifurcations. . .
Abstract FR:
Cette thèse s'appuie sur deux branches des systèmes dynamiques : la théorie du nombre de rotation des endomorphismes du cercle de degré un et des applications de l'anneau déviant la verticale, ainsi que la théorie des systèmes non-uniformément hyperboliques. Nous nous intéressons tout d'abord à une classe d'applications bimodales du cercle, dilatantes et affines par morceaux. Chaque application decette famille possède un nombre de rotation presque sûr : c'est le nombre de rotation de presque tout point du cercle. Nous étudions sa régularité et montrons que le nombre de rotation presque sûr est irrationnel pour un ensemble de paramètres de mesure totale. Nous considérons ensuite les applications de l'anneau qui dévient la verticale et plus particulièrement les applications bimodales de la famille d'Arnol'd épaissie. Un rôle essentiel est joué par les orbites de torsion nulle. . .