Abstract FR:

Ce travail est essentiellement consacre a l'etude des liens entre certains indices ordinaux associes a un espace de banach et l'existence sur celui-ci de normes equivalentes particulieres (uniformement convexes, localement uniformement convexes, uniformement kadec-klee). Dans le chapitre 0 nous introduisons les indices ordinaux que nous etudierons: indices de dentabilite, de dentabilite prefaible, de szlenk; dont nous enoncons quelques proprietes fondamentales. Le chapitre 1 expose la construction d'une norme equivalente localement uniformement convexe (resp. Frechet-differentiable) sur les espaces de banach dont l'indice de dentabilite (resp. Prefaible) est denombrable. Dans le chapitre 2 nous etendons au cas ou l'indice de szlenk est denombrable les resultats precedents. En application nous calculons l'indice de szlenk des espaces de fonctions continues sur un compact disperse, puis nous resolvons le probleme des trois espaces pour la condition indice de szlenk denombrable. Le chapitre 3 est consacre a la construction de normes equivalentes uniformement convexes ou uniformement kadec-klee sur les espaces pour lesquels ces indices sont egaux au premier ordinal infini. Ceci nous permet en particulier de donner une nouvelle technique de construction de normes uniformement convexes sur les espaces superreflexifs. Dans le chapitre 4, nous abordons le type de probleme pour lequel l'indice de szlenk a ete cree: l'existence d'espace universel pour certaines classes d'espaces de banach