Algorithmes multigrilles pour les écoulements compressibles laminaires
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The presented study proposes two multigrid methods for solving Euler and Navier-Stokes equations on unstructured meshes. Pseudo-unsteady problems are treated by an implicit integration in time. A multigrid method is used to solve linearised problems on each timestep, which are of the convection-diffusion type. The way of generating multigrid coarse problem is discussed. The major problem is to be seen in very different properties of convective and diffusive terms. While the convective coarse level terms can be easily constructed by a volume-agglomeration technique, this approach is not convenient for the diffusive terms. Here, two approaches for the formulation of diffusive terms are proposed. The underlying multigrid V-cycle schemes are analysed for purely diffusive case. Firstly, the coarse level diffusive terms are derived variationally by a Petrov-Galerkin technique. A proof of convergence is provided for this scheme applied to symmetric positive definite problems. It uses the framework of the regularity free convergence proof of Bramble, Pasciak, Wang and Xu. Secondly, a finite volume approach is adopted to create the coarse level diffusive terms. Available convergence results need, however, the coarse level retriangulated and rediscretised. Because this is computationally expensive, a cheaper alternative based on heuristic considerations is proposed. The two multigrid schemes are tested on unstructured meshes at first for a Poisson problem and then for Navier-Stokes problem for compressible viscous laminar flows. In the two cases they are more efficient than the existing methods.
Abstract FR:
L'etude presentee propose deux methodes multigrilles pour la résolution des equations d'Euler et de Navier-Stokes sur des maillages non structures. Des problemes pseudo non-stationnaires sont implicites en temps. A chaque pas de temps, une methode multigrille est utilisee pour resoudre le probleme linearise de type convection-diffusion. On etudie ici la maniere dont des problemes sur de niveaux grossiers sont generes. L'obstacle principal est lie aux proprietes tres differentes des termes convectifs et diffusifs. Tandis que les termes convectifs sur les niveaux grossiers peuvent etre facilement construits par agglomeration de volumes, cette approche ne convient pas pour les termes diffusifs. Ici, deux manieres de formuler les termes diffusifs sont proposees et les deux V-cycles multigrilles respectifs sont analyses dans le cas limite de la diffusion pure. Premierement, les termes diffusifs de niveaux grossiers sont derives par une technique variationnelle de Petrov-Galerkin. Une preuve de convergence est demontree pour des problemes symetriques definis positifs. Elle utilise le cadre de la preuve sans hypothese de regularite de Bramble, Pasciak, Wang et Xu. Deuxiemement, une approche par volumes finis est adoptee pour creer les niveaux grossiers. Des preuves disponibles de convergence exigent cependant que les niveaux grossiers soient retriangules et rediscretises. Comme le calcul de ceci est couteux, on propose une alternative simple, par correction de flux, basee sur des reflections heurestiques. Le deux schemas multigrilles sont testes sur des maillages non-structures, d'abord sur un probleme de Poisson, et ensuite sur des problemes de Navier-Stokes pour les ecoulements visqueux compressibles laminaires. Dans les deux cas ils s'averent plus efficaces que les methodes existantes.