Processus (multi-)fractionnaires à paramètres multidimensionnels et régularité höldérienne
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
The multifractional brownian motion is a generalization of the well-known fractional brownian motion, where the constant index of self-similarity is substituted with a function. This substitution allows the local regularity to vary along the paths. In a first paper, multiparameter extensions of these processes are studied. For each of one, two kinds of extension are defined: one is isotropic, the other is not. The fractal properties of one-parameter processes are extended: self-similarity and increments stationarity in the fractional case, and the locally asymptotic self-similarity in the multifractional case. The definition and study of a set-indexed fractional brownian motion, is the object of a second paper. Fractal properties are defined for a set-indexed process, and proved for our process. Eventually, behavior along increasing paths are examined: the one-parameter process obtained from projection along flows, is a time-changed classical fbm. In a third paper, we extend the 2-microlocal analysis to the stochastic case of gaussian processes. This allows to predict the regularity of processes obtained by action of integro-differential operators. The almost sure value of the 2-microlocal frontier of the (multi-)fractional brownian motion is computed.
Abstract FR:
Le mouvement brownien multifractionnaire est une generalisation du bien connu mouvement brownien fractionnaire, pour lequel le parametre d'autosimilarite est remplace par une fonction. Cette substitution permet a la regularite locale de varier le long des trajectoires. Dans un premier article, des extensions de ces processus pour des parametres multidimensionnels, sont etudiees. Pour chacun d'eux, deux types d'extension sont definis : l'une est isotrope, l'autre non. Les proprietes fractales des processus a parametre reel, sont etendues : l'autosimilarite et la stationnarite des accroissements dans le cas fractionnaire, et l'autosimilarite asymptotique locale dans le cas multifractionnaire. La construction et l'etude d'un mouvement brownien fractionnaire indexe par des ensembles, est l'objet d'un deuxieme article. Les proprietes fractales sont definies pour un processus indexe par des ensembles et prouvees dans le cas de notre processus. Enfin, son comportement sur les chemins croissants est examine : le processus a parametre reel obtenu par projection sur les flots, est un fbm classique change de temps. Dans un troisieme article, on etend l'analyse 2-microlocale au cadre stochastique des processus gaussiens. Celle-ci permet de predire la regularite des processus obtenus par action d'operateurs integro-differentiels. La valeur presque sure de la frontiere 2-microlocale du mouvement brownien (multi-)fractionnaire est evaluee.