Corps des modules et corps de définition de revêtements algébriques
Institution:
Toulouse 3Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
Let k be a perfect field and let c be an algebraic closure of k, separably closed. Let also bk be a k-curve. We note bc the c-curve obtained from bk by extension of scalars. We study the category rev of c-covers over bc that is to say finite and etale morphisms over bc. If f is an object of rev, a field of definition of f is a field a c-cover isomorphic to f can be defined over. Furthermore, the group gal(c/k) acts on rev functorially ; for all s in gal(c/k), the cover s. F is the pull-back of f along spec(s). If, for all s in gal(c/k), s. F is c-isomorphic to f, k is said to be the field of moduli of f. That is a well-known fact that the field of moduli is the intersection of the fields of definition. However, we don't know if a c-cover which is defined over all the the completions kv of k (v valuation of k) - and so with field of moduli k - is necessarily defined over k. First, we describe a cohomological criterion in order to express the fact that a certain type of covers of bc is defined over a given field. Then, using the kummer's theory, we explain a method to construct covers (defined over k) over the projective line whose group of automorphisms is a given gal(c/k)-module. By means of the class field theory and the special cases of grunwald-wang's theorem, we construct a cover between curves which is defined over all the completions of the rationals field without being defined over the rationals field. In conclusion, we exhibit a violation of the local-global principle for the category rev.
Abstract FR:
En premier, nous montrons l'existence d'inégalités de Markov sur les courbes algébriques Soient k un corps parfait et c une cloture algebrique, separablement close, de k. Soient bk une k-courbe et bc la c-courbe obtenue a partir de bk en etendant les scalaires. On etudie la categorie rev des c-revêtements algebriques au-dessus de bc c'est-a-dire des morphismes finis et etales au-dessus de bc. Si f est un objet de rev, un corps de definition de f est un corps sur lequel peut etre defini un revetement isomorphe a f sur c. En outre, le groupe gal(c/k) agit fonctoriellement sur la categorie rev ; pour tout s dans gal(c/k), on definit ainsi s. F comme le tire en arriere de f le long de spec(s). Si, pour tout s dans gal(c/k), s. F est c-isomorphe a f, on dit que k est corps des modules de f. S'il est connu que le corps des modules est l 'intersection des corps de definition, on ne sait pas si un revetement defini sur tous les completes kv de k (v place de k) - et donc de corps des modules k - est necessairement defini sur k. Nous detaillons d'abord un critere cohomologique pour traduire le fait qu'un certain type de c-revetements est defini sur un corps donne. Puis, en utilisant la theorie de kummer, nous detaillons une methode de construction de revêtements au- dessus de la droite projective dont le groupe d'automorphismes est un gal(c/k)-module donne. Au moyen de la theorie du corps de classes et des cas speciaux du theoreme de grunwald-wang, nous construisons alors un revetement de courbes defini sur tous les localises du corps des nombres rationnels sans etre defini sur le corps des nombres rationnels. Il s'agit donc d'un contre-exemple au principe local-global dans la categorie rev.