Théorie du pluripotentiel et dynamique complexe
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
This these has for subject the study of problems in pluripotential theory. In a first paper, we consider an analoguous of the Dirichlet space in the case of complex analysis in several variables. It is a space of test functions having good properties of invariance by holomorphic maps, especially in the compact case. We prove for this space that the functions are defined up to a pluripolar set in the sense that they are quasi-continuous for the functional capacity associated to this space and this capacity tests the pluripolar sets. The second article deals with self-intersection inequlaities for analytic set anfd more generally for currents. We prove for that that for a positive closed current of any bidegree in a compact Kähler manifold, we can associate a positive closed current of bidegree (1,1) whose mass is controled by the mass of the current and which has the same Lelong numbers (i. E. The same singularities). Finally, the last article is about the study of the dynamics of a family of polynomial mappings of \mathbb{C}^2. We are intersted in the dynamics near infinity. More precisely, we have a decomposition of the Green current near infinity along the itineraries between the indeterminacy points and theirs preimages, which gives a symbolic dynamics semi-conjugated to a sub-shift which is new in complex dynamics.
Abstract FR:
Cette thèse a pour l'objet l'étude de problèmes de la théorie du pluripotentiel. Dans un premier travail, on construit un analogue de l'espace de Dirichlet dans le cas de l'analyse complexe à plusieurs variables. Il s'agit d'un espace de fonctions tests qui ont les bonnes propriétés d'invariance par applications holomorphes, notamment dans le cas compacte. On prouve pour cet espace que les fonctions sont définies à un ensemble pluripolaire près au sens où elles sont quasi-continues pour la capacité fonctionnelle associée et que cette capacité teste les ensembles pluripolaires. Le deuxième article traite d'inégalités d'auto-intersection sur les ensembles analytiques et même plus généralement sur les courants. On prouve pour cela qu'à un courant positif fermé de bidegré quelconque sur une variété kählérienne compacte, on peut associer un courant positif fermé de bidegré (1,1) dont la masse est contrôlée par la masse du courant et qui a les mêmes nombres de Lelong que lui (c'est-à-dire les mêmes singularités). Enfin, le dernier article traite de l'étude de la dynamique d'une famille d'applications polynomiales de \mathbb{C}^2. On s'intéresse à la dynamique près de l'infini. Plus particulièrement, on décompose le courant de Green près de l'infini selon les itinéaires entre les points d'indétermination, ce qui donne une dynamique semi-conjuguée à un sous-shift ce qui est nouveau en dynamique complexe.