Abstract FR:

On presente une approche du probleme du centre qui utilise la theorie des formes normales de germes de champs de vecteurs polynomiaux a l'origine dans r 2 n. Un de nos points de vue est l'effectivite, au sens ou on utilise le calcul formel pour obtenir et calculer les coefficients de la forme normale de birkhoff. On calcule explicitement les premiers coefficients de la forme normale d'un champ de vecteurs hamiltonien polynomial homogene, et un debut d'etude des champs hamiltoniens non homogenes est entreprise, au sens ou, la aussi, on calcule completement les premiers coefficients des formes normales mises en jeu. Notre travail permet d'attacher des invariants algebriques aux champs de vecteurs, et donc d'ebaucher une classification de ces champs. De plus, les equations algebriques provenant des ces invariants completement explicites dans certains cas, en particulier pour le cas hamiltonien, permettent de generer des conditions pour la linearisation des champs polynomiaux au voisinage de l'origine, qui est un point critique de type elliptique. Le probleme de la linearisation, ou encore du probleme du centre, est ainsi aborde par le biais des varietes algebriques definies par les equations associees aux champs de vecteurs etudies.