Résurgence des systèmes différentiels linéaires et calcul des matrices de Stokes
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Abstract EN:
The aim of this thesis is the construction of a method of effective calculation of Stokes multipliers with error estimation. This method applies itself to all systems with single level and the first level of systems with multiple levels. In a theoretical part, we begin by stating the resurgence of formal solutions following Ecalle's method by regular perturbation and majorant series. We deduce from it a precise description of singularities in the Borel plane determining the resurgence coefficients. We make then explicit formulae between these resurgence coefficients and the Stokes multipliers. In the numerical part, we suppose that the entries of the systems are rational and we choose to work in the Borel plane where we calculate the resurgence coefficients by successive analytic continuations. In particular, we build algorithms in order to estimate the error. We give too several numerical examples.
Abstract FR:
Le but de cette thèse est la construction d'une méthode de calcul effectif des multiplicateurs de Stokes avec évaluation de l'erreur. Cette méthode s'applique à tous les systèmes de niveau unique et au premier niveau des systèmes de niveaux multiples. Dans une partie théorique, nous commençons par établir la résurgence des solutions formelles en suivant la méthode d'Ecalle par perturbation régulière et séries majorantes. Nous déduisons de celle-ci une description précise des singularités dans le plan de Borel en déterminant les coefficients de résurgence et les multiplicateurs de Stokes. Dans la partie numérique, nous supposons que les systèmes sont à coefficients rationnels et nous choisissons de travailler dans le plan de Borel en calculant les coefficients de résurgence par prolongements analytiques successifs. En particulier, nous construisons des algorithmes permettant d'évaluer l'erreur. Nous illustrons également cette méthode de calcul par plusieurs exemples numériques.