Abstract FR:

Generalisant le theoreme classique de p. Fatou (1906), plusieurs criteres locaux de convergence non-tangentielle existent dans le cas euclidien. En particulier, la bornitude non-tangentielle d'une part, et la finitude de l'integrale d'aire d'autre part, sont presque partout equivalentes a la convergence non-tangentielle. Ces resultats, initialement demontres par a. P. Calderon (1950) et e. M. Stein (1961) ont ete re-demontres de maniere probabiliste par j. Brossard (1978). Apres avoir remarque que la courbure negative (pincee) est un point de vue naturel pour l'etude de ces questions, nous introduisons les notions correspondantes dans ce nouveau cadre. En particulier, le bord de martin et le bord geometrique coincident d'apres les travaux de m. T. Anderson et r. Schoen (1985). Nous enoncons ensuite un theoreme analogue a celui de a. P. Calderon et e. M. Stein. La demonstration, objet de cette these, utilise des arguments probabilistes: theoreme de convergence des martingales locales, mouvement brownien conditionne a l'infini, propriete forte de markov, etc. ; mais aussi des arguments analytiques: theorie du potentiel, differentes inegalites de harnack, formule de bochner, methode d'iteration de moser, etc. La geometrie intervient a des moments cruciaux par le pincement de la courbure et les differents theoremes de comparaison