Solutions régulières globales d’équations d’évolution de type pseudo-différentiel singulier
Institution:
Paris 6Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
This thesis is devoted to the study of partial differential equations, which generalize in a certain sense the linear wave equation. We are interested to find second order differential operators defined on Rt+ × Rxn of the form P(t,x,∂t,∂x )= ∂t2 - pn (t,∇x) such that the solution of the wave linear equation with regular Cauchy data, is equal to t times the mean of the initial speed on the unit sphere in Rxn. A classical example is the Kirchhoff formula for the wave equation when n=3. We aim to generalize this example. We consider in the first and the second chapter the cases n=5 et n=2 and we determine the operators pn (t,∇x). We prove the existence of a such family of linear operators called meta-pseudo differential operators which will be study in details in the last chapter
Abstract FR:
Cette thèse est consacrée à l'étude d'équations aux dérivées partielles d'évolution qui, dans un certains sens, généralisent l'équation des ondes linéaire. Nous nous intéressons à la recherche des opérateurs différentiels du second ordre par rapport au temps sur Rt+ × Rxn de la forme P(t,x,∂t,∂x )= ∂t2- pn (t,∇x) tels que la solution de l'équation homogène associée avec des données de Cauchy régulières, s'exprime à l'aide d'une formule de moyenne de la vitesse initiale sur une surface difféomorphe à Sn-1(0,1). Un exemple classique est la formule de Kirchhoff pour l'équation des ondes si n=3. L'objectif consiste à généraliser cet exemple. Nous considérons dans le premier et le second chapitres les cas n=5 et n=2 et nous déterminons les opérateurs. Nous prouvons l'existence d'une classe de ce type d'opérateurs que nous appellerons opérateurs méta-pseudo-différentiels. Ces opérateurs seront étudiés en détail dans le dernier chapitre.