Infinite dimensional stochastic calculus via regularization with financial perspectives
Institution:
Paris 13Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
This thesis develops some aspects of stochastic calculus via regularization to Banach valued processes. An original concept of -quadratic variation is introduced, where is a subspace of the dual of a tensor product B B where B is the values space of some process X process. Particular interest is devoted to the case when B is the space of real continuous functions defined on [-, 0], > 0. Itô formulae and stability of finite -quadratic variation processes are established. Attention is deserved to a finite real quadratic variation (for instance Dirichlet, weak Dirichlet) process X. The C [ -, 0] -valued process X(. ) defined by Xt(y)= Xt+y, where y∈[-, 0], is called window process. Let T > 0. If X is a finite quadratic variation process such that [X]t = t and h = H (XT(. )) où H : C([ -T, 0]) ℝ is L2([ -T, 0]-smooth or H non smooth but finitely based it is possible to represent h as a sum of a real H0 plus a forward integral of type ∫0T d – X où H0 et are explicitly given. This representation result will be strictly linked with a function u : [0,T] x C([ -T; 0]) ℝ which in general solves an infinite dimensional partial differential equation with the property H0 = u(0, X0(. )), t = D° u(t,Xt(. )):= Dut,Xt(. ))({0}). This decomposition generalizes important aspects of Clark-Ocone formula which is true when X is the standard Brownian motion W. The financial perspective of this work is related to hedging theory of path dependent options without semimartingales.
Abstract FR:
Ce document de thèse développe certains aspects du calcul stochastique via régularisation pour des processus X à valeurs dans un espace de Banach général B. Il introduit un concept original de -variation quadratique, où est un sous-espace du dual d'un produit tensioriel B B, muni de la topologie projective. Une attention particulière est dévouée au cas où B est l'espace des fonctions continues sur [-, 0], > 0. Une classe de résultats de stabilité de classe C1 pour des processus ayant une -variation quadratique est établie ainsi que des formules d'Itô pour de tels processus. Un rôle significatif est joué par les processus réels à variation quadratique finie X (par exemple un processus de Dirichlet, faible Dirichlet). Le processus naturel à valeurs dans C [ -, 0] est le dénommé processus fenêtre Xt(. )où Xt(y)= Xt+y, y∈[-, 0]. Soit T > 0. Si X est un processus dont la variation quadratique vaut [X]t = t et h = H (XT(. )) où H : C([ -T, 0]) ℝ est une fonction de classe C3 Fréchet par rapport à L2([ -T, 0] ou H dépend d'un numéro fini d'intégrales de Wiener, il est possible de représenter h comme un nombre réel H0 plus une intégrale progressive du type ∫0T d – X où est un processus donné explicitement. Ce résultat de représentation de la variable aléatoire h sera lié strictement à une fonction u : [0,T] x C([ -T; 0]) ℝ qui en géneral est une solution d'une équation aux dérivées partielles en dimension infinie ayant la propriété H0 = u(0, X0(. )), t = D° u(t,Xt(. )):= Dut,Xt(. ))({0}). A certains égards, ceci généralise la formule de Clark-Ocone valable lorsque X est un mouvement brownien standard W. Une des motivations vient de la théorie de la couverture d'options lorsque le prix de l'actif sous-jacent n'est pas une semimartingale.