Abstract FR:

Nous étudions la dynamique d'homéomorphismes en dimension 2. Birkhoff a conjecturé qu'un homéomorphisme de la sphère 82 préservant l'orientation, préservant l'aire, sans point périodique excepté deux points fixes, réel-analytique, est conjugué à une rbtation irrationnelle. Nous savons que toutes les hypothèses sont nécessaires car il existe des contreexemples dès que l'on retire l'une d'elles. Néanmoins, sous des hypothèses purement topologiques, il est possible de rapprocher la dynamique d'un homéomorphisme H de celle d'une rotation en construisant un arc disjoint de ses premiers itérés par H. Nous commençons par établir un résultat sur l'anneau fermé. L'entier n étant fixé, sous des hypothèses analogues à celles de la conjecture de Birkhoff, mais en omettant l'hypothèse de régularité, nous construisons un arc joignant les deux composantes connexes de la frontière de l'anneau, et disjoint de ses n premiers itérés. Nous établissons ensuite un résultat similaire pour un homéomorphisme local défini au voisinage d'un point fixe du plan. Grâce à des théorèmes d'extension pertinents, nous nous ramenons à des résultats connus de dynamique globale.