Abstract FR:

L'espace de hardy d'un espace symetrique de type hermitien a ete introduit par hilgert, olafsson et orsted. C'est un espace de fonctions holomorphes sur un domaine g-invariant, dans l'espace complexifie, verifiant une condition de type hardy. Parmi les espaces symetriques de type hermitien figurent les espaces symetriques de type cayley. En utilisant les algebres de jordan euclidiennes, on etudie l'espace de hardy d'un espace symetrique de type cayley. Pour cela on commence par donner une nouvelle realisation du cone regulier maximal invariant dans l'algebre de lie de g. On decrit explicitement le domaine g-invariant sous la forme du produit de deux copies du domaine symetrique borne d associe a l'algebre de jordan v, prive d'une sous-variete. On decrit ensuite les fonctions coniques, qui sont les vecteurs de plus haut poids de l'espace de hardy, et on calcule explicitement leurs normes. Le resultat s'exprime a l'aide de la fonction c de l'espace hermitien symetrique d. Ainsi on obtient une version concrete de la decomposition de l'espace de hardy comme somme de representations de la serie discrete holomorphe relative. On en deduit une expression du noyau de cauchy-szego sous forme d'une serie tres explicite. On etablit, dans le cas ou la dimension de l'algebre de jordan v est un multiple de son rang, la relation qui existe entre l'espace de hardy (non-commutatif) et l'espace de hardy classique (commutatif) du bi-disque. On obtient ainsi une deuxieme formule explicite pour le noyau de cauchy-szego. Dans le cas le plus simple ou d est le disque unite du plan complexe, ce noyau s'ecrit comme le bi-rapport de quatre points, et son developpement en serie conduit a un cas particulier d'une formule de heine