Un isomorphisme de Deligne-Riemann-Roch
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
In this thesis mainly two sets of questions are dealtwith. The first one considers the Hasse-principle for zero-cycles of degree one on curves over numberfields. The main result states that (assuming finiteness of Sha for Jacobians) wheneverthereis a local set of zero-cycles of degree 1 on a projective smoothcurve over a number field, which are orthogonal under the Brauer-Maninpairing of a conjecturally finitesubquotient of the Brauer group, thereis a global zero-cycle of degree 1. In the second set weturn to a question of P. Deligne concerningmaking the Riemann-Rochtheorem "functorial". This amounts to describing Riemann-Roch-typeidentities up to higherequivalences, i. E. On a categoricallevel as proposed by P. Deligne. Wegivevariousaxiomatized versions of Riemann-Roch type functorialisomorphisms, and the main technicaltoolcomesfrom the A^1-homotopy theory of schemes of V. Voevodsky and F. Morel, togetherwith an extensive deformation to the normal cone argument. Two main cases are treated; 1) a functorial version of homason'sLezschetz-Riemann-Roch for cyclicdiagonalizable group-scheme actions, 2) a functorial version of Adams-Riemann-Roch. Finally, the last case isapplied to the case of relative curves and one recovers, up to torsion, P. Deligne'sfunctorialRiemann-Rochtheorem as well as the conductor-discriminant formula of T. Saito.
Abstract FR:
Dans cette thèse, nous nous préoccupons essentiellement de deux types de question. Dans un premier temps, nous considérons le principe de Hasse pour les zéro-cycles de degré un sur des courbes définies sur des corps de nombres. Le résultat principal énonce (en supposant que le groupe de Tate-Shafarevich des jacobiennes est fini) que l'on dispose d'un zero-cycle global de degré 1, chaque fois qu'il y a un ensemble local de zéro-cycles de degré un sur un courbe lisse projective définie sur un corps de nombre, formé d'éléments orthogonaux pour l'accouplement de Brauer-Manin d'un sous-quotient conjecturalement fini du groupe de Brauer. Dans un deuxième temps, nous considérons la question posée par P. Deligne de l'existence d'un raffinement fonctoriel de théorèmes de type Riemann-Roch. Ceci revient à décrire des identités de type Riemann-Roch à des Equivalences supérieures près, ie au niveau catégorique proposé par P. Deligne. Nous donnons plusieurs versions axiomatisées d'isomorphismes fonctoriels de type Riemann-Roch et l'outil technique principal provient de la théorie de la A^1-homotopie des schémas due à W. Voevodsky et F. Morel, jointe à un argument de déformation au cône normal assez complexe. Les deux cas les plus importants sont les suivants: 1) une version Fonctorielle du théorème de Thomason-Lefschetz-Riemann-Roch pour les actions de schémas en groupes cyclic diagonalisables 2) une version fonctorielle du théorème d'Adams-Riemann-Roch. Pour finir, on applique le dernier cas à la situation des courbes relatives et on retrouve, à torsion près, le théorème de Riemann-Roch de Deligne ainsi que la formule du conducteur- discriminant de T. Saito