Les foncteurs de plongement de tores dans les groupes réductifs et leurs propriétés arithmétiques
Institution:
Paris 6Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
Dans cette thèse, on s'intéresse à la possibilité de plonger un tore T dans un groupe réductif G selon une donnée radicielle tordue sur un schéma S. Un cas particulier de ce problème est lié au problème de plongement d'une algèbre étale avec involution dans une algèbre centrale simple avec involution, qui est considérée par Prasad et Rapinchuk. Pour aborder ce problème, on définit le foncteur de plongement, ensuite on montre qu'il est représentable. Par suite, on peut reformuler le problème original en un problème d'existence des S-points du foncteur de plongement. Afin de fixer une composante connexe du foncteur de plongement, on définit une orientation u de la donnée radicielle par rapport à G et considère le foncteur de plongement orienté. On montre que le foncteur de plongement orienté est un espace homogène sous l'action adjointe de G. De plus, on montre que sur un corps local L, l'orientation u et l'index de Tits de G détermine l'existence des L-points du foncteur de plongement orienté. Utilisant aussi les techniques développées par Borovoi, on prouve le principe local-global pour les foncteurs de plongement orientés danscertains cas. En fait, l'obstruction de Brauer-Manin est la seule obstruction au principe local-global pour les foncteurs de plongement orientés. Enfin, on donne une preuve plus conceptuelle du théorème de Prasad et Rapinchuk en appliquant les résultats sur les foncteurs de plongement orienté, tout en généralisant le Théorème 7. 3 dans l’article « Local-Global Principles for Embedding of Fields with Involution into Simple Algebras with Involution » par Prasad et Rapinchuk
Abstract FR:
In this thesis, we focus on how to embed a torus T into a reductive group G with respect to a given root datum over a scheme S. This problem also relates to how to embed an étale algebra with involution into a central simple algebra with involution. We approach this problem by defining the embedding functor, and prove that it is a left homogeneous space over S under the automorphism group AutS-grp(G) and a right principal homogeneous space over the scheme of maximal tori under the automorphism group Aut(). Therefore, it is representable. Then we can reformulate the original problem into the problem of existence of the S-points of the embedding functor. In order to fix a connected component of the embedding functor, we define an orientation u of with respect to G. We show that the oriented embedding functor is a homogeneous space under the adjoint action of G. Moreover, we show that over a local field L, the orientation u and the Tits index of G determine the existence of L-points of the oriented embedding functor. We also use the techniques developed in Borovoi's paper to prove that the local-global principle holds for oriented embedding functors in certain cases. Actually, the Brauer-Manin obstruction is the only obstruction to the local-global principle for the oriented embedding functor. Finally, we apply the results of oriented embedding functors to give an alternative proof of Prasad and Rapinchuk's Theorem, and improve Theorem 7. 3 in their paper “Local-Global Principles for Embedding of Fields with Involution into Simple Algebras with Involution”