Abstract FR:

Les théorèmes de (pré)compacité ou de bomitude s'établissent généralement sur l'ensemble des variétés de dimension, diamètre et courbure bomés, qui n'est pas complet (il n'existe donc pas de preuve unifiée de la bornitude des invariants par compacité/continuité). A la différence de la courbure, l'entropie est peu sensible aux variations locales de la métrique ou de la topologie, c'est pourquoi nous nous plaçons sur une famille M(o,H,D) beaucoup plus vaste: celle des classes d'isométries d'espaces métriques de longueur qui admettent un revêtement universel, dont le diamètre et l'entropie sont bornés par D et H, qui vérifient une condition 1-homotopique dite de o-non-abélianité. Nous prouvons que M(o,H,D) est complet pour la distance de Gromov-Hausdorff, que l'entropie et le spectre marqué des longueurs (resp. Le premier nombte de Betti et le groupe fondamental) y sont des fonctions lipschitziennes (resp. Localement constantes), qu'on peut y comparer les volumes et les bornes inférieures de courbure de deux variétés e-proches et que le sous-ensemble M(o,H,D,V) (des variétés de courbure négative et de volume majoré par V) y est d'adhérence compacte. Des majorations uniformes du noyau de la chaleur assurent la précompacité de M(o,H,D,V) pour la distance spectrale et une description des propriétés des espaces-limites. La méthode s'appuie sur une estimation de type Bishop (sans hypothèse de courbure) du volume des boules et sur le calcul d'un e :=e (o,H,D) uniforme tel que toute e-approximation de Hausdorff (non continue) entre deux espaces X et Y de M(o,H,D) induise un isomorphisme p entre les groupes d'automorphismes de leurs revêtements universels et se relève en une e-presque-isométrie péquivariante entre ces revêtements.